题目内容

【题目】如图,在△BCE中,点A时边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.

(1)求证:CB是⊙O的切线;

(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)欲证明CB是⊙O的切线,只要证明BC⊥OB,可以证明△CDO≌△CBO解决问题.

(2)首先证明S=S扇形ODF,然后利用扇形面积公式计算即可.

试题解析:(1)证明:连接OD,与AF相交于点G,∵CE与⊙O相切于点D,∴OD⊥CE,∴∠CDO=90°,∵AD∥OC,∴∠ADO=∠1,∠DAO=∠2,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠1=∠2,在△CDO和△CBO中,CO=CO,1=2,OD=OC,∴△CDO≌△CBO,∴∠CBO=∠CDO=90°,∴CB是⊙O的切线.

(2)由(1)可知∠3=∠BCO,∠1=∠2,∵∠ECB=60°,∴∠3=∠ECB=30°,∴∠1=∠2=60°,∴∠4=60°,∵OA=OD,∴△OAD是等边三角形,∴AD=OD=OF,∵∠1=∠ADO,在△ADG和△FOG中,∵∠1=ADG,FGO=AGD,AD=OF,∴△ADG≌△FOG,∴S△ADG=S△FOG,∵AB=6,∴⊙O的半径r=3,∴S=S扇形ODF==

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