Question

如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°

（1）求证：AG=FG;
（2）延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长.

Answer 1

（1）通过证明AG="BH" ，BH=HF+GH=FG，则AG=FG （2）

试题分析：（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点

∵∠CFB=45°
∴CH=HF
∵∠ABG+∠BAG=90°，   ∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE
∵AG⊥BF     CH⊥BF
∴∠AGB=∠BHC=90°
在△AGB和△BHC中
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，  AB=BC
∴△AGB≌△BHC
∴AG=BH，  BG=CH
∵BH=BG+GH
∴BH=HF+GH=FG
∴AG=FG
(2) ∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C为FM的中点
∴CH=GM∴BG=GM∵BM=10
∴BG=，  GM=（1分）∴AG=   AB=10
∴HF=   ∴CF=×∴CM=
过B点作BK⊥CM于K

∵CK==，  ∴BK=
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q
∴△BKC≌△CQD
∴CQ=BK=
DQ=CK=∴QF=－=∴DF==
点评：本题考查三角形和正方形的知识，解本题的关键是熟练掌握三角形和正方形的一些性质，此题难度较大