Question

如图，已知直线y=x与抛物线交于A、B两点．

（1）求交点A、B的坐标；
（2）记一次函数y=x的函数值为y₁，二次函数的函数值为y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范围；
（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．

Answer 1

（1）A（0，0），B（2，2）。
（2）0＜x＜2。
（3）符号条件的点P有4个，
其中P₁（，），P₂（，），P₃（﹣2，2）。

试题分析：（1）根据题意可以列出关于x、y的方程组，通过解方程组可以求得点A、B的坐标。
（2）根据函数图象可以直接回答问题；
（3）需要分类讨论：以AB为腰和以AB为底的等腰三角形。
解：（1）如图，∵直线y=x与抛物线交于A、B两点，
∴，解得，或。
∴A（0，0），B（2，2）。
（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）．
∵一次函数y=x的函数值为y₁，二次函数的函数值为y₂，
∴当y₁＞y₂时，根据图象可知x的取值范围是：0＜x＜2。
（3）该抛物线上存在4个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形。理由如下：
∵A（0，0），B（2，2），∴B=。
根据题意，可设P（x，），
①当PA=PB时，点P是线段AB的中垂线与抛物线的交点，

易求线段AB的中垂线的解析式为y=﹣x+2，
则，
解得，，。
∴P₁（，），P₂（，）。
②当PA=AB时，根据抛物线的对称性知，点P与点B关于y轴对称，即P₃（﹣2，2）。
③当AB=PB时，点P₄的位置如图所示。
综上所述，符号条件的点P有4个，
其中P₁（，），P₂（，），P₃（﹣2，2）。