Question

【题目】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　 　；

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形　 　“十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

①= ；②= ；③“十字形”ABCD的周长为12．

Answer 1

【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（OE＞0）；（3）y=x2﹣9．

【解析】（1）利用“十字形”的定义判断即可；

（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2-（AC2+BD2），即可得出结论；

（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，-ac），求出S=ACBD=-（ac+c）×，S1=OAOB=-，S2=OCOD=-，S3=OA×OD=-，S4=OB×OC=-，进而建立方程，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=3，进而求出c=-9，即可得出结论．

（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，

∴菱形，正方形是：“十字形”，

∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，

∴平行四边形，矩形不是“十字形”，

故答案为：菱形，正方形；

②如图，

当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC=∠DAC，

∵AB=AD，

∴AC⊥BD，

∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，

故答案为：不是；

（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，

∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，

∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，

∴∠AED=∠AEB=90°，

∴AC⊥BD，

过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，

∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，

∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，

∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），

∵6≤AC2+BD2≤7，

∴2﹣≤OE2≤2﹣，

∴≤OE2≤，

∴≤OE≤；

（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），

∵a＞0，c＜0，

∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，

∴S=ACBD=﹣（ac+c）×，S1=OAOB=﹣，S2=OCOD=﹣，

S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，

∵，，

∴，

∴=2，

∴a=1，

∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，

∵，

∴S=S1+S2+2，

∴﹣c=﹣，

∴

∴

∴b=0，

∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），

∴四边形ABCD是菱形，

∴4AD=12，

∴AD=3，

即：AD2=90，

∵AD2=c2﹣c，

∴c2﹣c=90，

∴c=﹣9或c=10（舍），

即：y=x2﹣9．