题目内容
如图,已知C、D是双曲线,y=
在第一象限内的分支上的两点,直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点,设C、D的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),连接OC、OD.
(1)求证:y1<OC<y1+
;
(2)若∠BOC=∠AOD=a,tana=
,OC=
,求直线CD的解析式;
(3)在(2)的条件下,双曲线上是否存在一点P,使得S△POC=S△POD?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.
m |
x |
(1)求证:y1<OC<y1+
m |
y1 |
(2)若∠BOC=∠AOD=a,tana=
1 |
3 |
10 |
(3)在(2)的条件下,双曲线上是否存在一点P,使得S△POC=S△POD?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.
(1)证明:过点C作CG⊥x轴,垂足为G,则CG=y1,OG=x1.(1分)
∵点C(x1,y1)在双曲线y=
上,
∴x1=
∵在Rt△OCG中,CG<OC<CG+OG,∴y1<OC<y1+
(3分)
(2)在Rt△GCO中,∠GCO=∠BOC=α,
tana=
=
,即
=
,y1=3x1
∵OC2=OG2+CG2,OC=
,
∴10=x12+y12,即10=x12+(3x1)2
解之,得x1=±1.∵负值不合题意,∴x1=1,y1=3.∴点C的坐标为(1,3).(4分)
∵点C在双曲线y=
上,
∴3=
,即m=3
∴双曲线的解析式为y=
(5分)
过点D作DH⊥x轴,垂足为H.则DH=y2,OH=x2
在Rt△ODH中,tana=
=
=
,即x2=3y2
又y2=
,则3y22=3.
解之,得y2=±1.
∵负值不合题意,∴y2=1,x2=3
∴点D的坐标为(3,1)(6分)
设直线CD的解析式为y=kx+b.
则有
,解得
.
∴直线CD的解析式为y=-x+4.(7分)
(3)双曲线y=
上存在点P,使得S△POC=S△POD,这个点P就是
∠COD的平分线与双曲线y=
的交点(8分)
证明如下:
∵点P在∠COD的平分线上.
∴点P到OC、OD的距离相等.
又OD=
=
=
=OC
∴S△POD=S△POC.(10分)
∵点C(x1,y1)在双曲线y=
m |
x |
∴x1=
m |
y1 |
∵在Rt△OCG中,CG<OC<CG+OG,∴y1<OC<y1+
m |
y1 |
(2)在Rt△GCO中,∠GCO=∠BOC=α,
tana=
OG |
CG |
1 |
3 |
x1 |
y1 |
1 |
3 |
∵OC2=OG2+CG2,OC=
10 |
∴10=x12+y12,即10=x12+(3x1)2
解之,得x1=±1.∵负值不合题意,∴x1=1,y1=3.∴点C的坐标为(1,3).(4分)
∵点C在双曲线y=
m |
x |
∴3=
m |
1 |
∴双曲线的解析式为y=
3 |
x |
过点D作DH⊥x轴,垂足为H.则DH=y2,OH=x2
在Rt△ODH中,tana=
DH |
OH |
y2 |
x2 |
1 |
3 |
又y2=
3 |
x2 |
解之,得y2=±1.
∵负值不合题意,∴y2=1,x2=3
∴点D的坐标为(3,1)(6分)
设直线CD的解析式为y=kx+b.
则有
|
|
∴直线CD的解析式为y=-x+4.(7分)
(3)双曲线y=
3 |
x |
∠COD的平分线与双曲线y=
3 |
x |
证明如下:
∵点P在∠COD的平分线上.
∴点P到OC、OD的距离相等.
又OD=
OH2+DH2 |
x22+y22 |
10 |
∴S△POD=S△POC.(10分)
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