Question

如图，已知点A、B、C、D在已知⊙O上，AD∥BC，∠ADC=120°，⊙O的半径为2．
（1）求证：AC是∠BCD的平分线；
（2）求圆内接四边形ABCD的周长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC=120°，
∴∠B=60°，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DCA=∠ACB，
∴AC是∠BCD的平分线；
（2）解：连接OA，如图，
∵∠B=60°，OB=OA，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠DCB=60°，
∴OA∥CD，
∵OA=OC，
∴四边形OADC为菱形，
∴AD=DC=OC=2，
在Rt△ABC中，AB=BC=2，
∴四边形ABCD的周长=2+2+2+4=10．
分析：（1）四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC=120°根据圆内接四边形的性质得∠B=60°，根据直径所对的圆周角为直角由BC是直径得到∠BAC=90°，则∠ACB=30°，根据AD∥BC可得∠DAC=30°，利用三角形内角和定理由∠ADC=120°得到∠DCA=30°，则∠DCA=∠ACB，即AC是∠BCD的平分线；
（2）连接OA，易证得△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，由AD∥BC，∠ADC=120°，得到∠DCB=60°，所以OA∥CD，而OA=OC，则有四边形OADC为菱形，于是AD=DC=OC=2，而在Rt△ABC中，AB=BC=2，于是得到四边形ABCD的周长=2+2+2+4=10．
点评：本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角．也考查了等边三角形的判定与性质和平行线的性质．