题目内容
如图,在△ABC中,三个内角的角平分线交于点O,OE⊥BC于点E.
(1)求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数;
(2)求证:∠BOD=∠COE.

(1)求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数;
(2)求证:∠BOD=∠COE.

(1)∵AD、BM、CN分别是△ABC的三个内角的角平分线,
∴∠ABO=
∠ABC,∠BCO=
∠ACB,∠CAO=
∠CAB.
又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°,
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=
(∠ABC+∠ACB+∠CAB)=
×180°=90°;
(2)证明:∵∠BOD=∠BAO+∠ABO,∠BAO=∠CAO,
∴∠BOD=∠CAO+∠ABO=
(∠BAC+∠ABC)=
(180°-∠ACB)=90°-
∠ACB=90°-∠BCO.
又∵OE⊥BC,
∴∠OEC=90°,
∴∠COE=90°-∠ECO.
∴∠BOD=∠COE.

∴∠ABO=
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又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°,
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=
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(2)证明:∵∠BOD=∠BAO+∠ABO,∠BAO=∠CAO,
∴∠BOD=∠CAO+∠ABO=
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又∵OE⊥BC,
∴∠OEC=90°,
∴∠COE=90°-∠ECO.
∴∠BOD=∠COE.


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