题目内容
【题目】我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且CD＝CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）；（2）见解析；（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．证明见解析．
【解析】
（1）邻角相等的四边形有很多，矩形、正方形或者等腰梯形都至少有一组邻角相等；
（2）解本题有两种方法：①运用中位线的性质，找出对应相等的角；②用待定系数法，设出x，写出关于x的代数式，化简即可找出对应相等的角；
（3）根据题意易知满足条件的四边形即为第二题的四边形．
（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）
（2）证法一：取AC的中点M，连接ME、MF
∵点E为BC中点，
∴EM为△ABC的中位线，
∴EM∥AB，且EM＝
AB
同理FM∥DC，且FM＝DC
∵AB＝AC，DC＝AC，
∴AB＝DC，EM＝FM，
∴∠1＝∠2
∵EM∥AB，FM∥DC，
∴∠2＝∠4，∠1＝∠3，
∴∠4＝∠3
∵∠AGE+∠4＝180°，∠GEC+∠3＝180°，
∴∠AGE＝∠GEC
∴四边形AGEC是等邻角四边形
证法二：连接AE
设∠B的度数为x
∵AB＝AC，CD＝CA，
∴∠C＝∠B＝x，∠1＝
＝90°﹣
∵F是AD的中点，
∴AF＝EF＝AD，
∴∠2＝∠1＝90°﹣
∴∠AGE＝∠B+∠2＝x+90°﹣＝90°+，∠GEC＝180°﹣（90°﹣）＝90°+
∴∠AGE＝∠GEC，
∴四边形AGEC是等邻角四边形
（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．
理由：如图，连接AE，CF交于点O．
∵CA＝CD，AF＝DF，
∴CF⊥AD，∠ACF＝∠DCF，
∵AB＝AC，BE＝EC，
∴AE⊥BC，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴A，F，E，C四点共圆，
∴AEF＝∠ACF＝∠OCH，
∴∠FHC＝∠HEC+∠HCE＝∠AEF+90°+∠HCE＝∠OCH+∠HCE+90°＝90°+∠OCE，
∵∠AGF＝∠B+∠BEG＝∠B+90°﹣∠AEG＝90°+∠ACB﹣∠ACO＝90°+∠OCE，
∴∠AGF＝∠GHC，
∴四边形AGHC是等邻角四边形
