题目内容
如图,以原点O为圆心的半圆交x轴于A、B两点,点B的坐标为(4,0),过B且垂直于x轴的直线上有一点C,过A、C的直线交半圆于D,且BC=
.
(1)求出点D的坐标;
(2)求过A、B、D的抛物线的解析式;
(3)在y轴上是否存在一点P,使得|PA-PD|的值最大?如果存在,请求出此时△ADP的周长;如果不存在,请说明理由.
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(1)求出点D的坐标;
(2)求过A、B、D的抛物线的解析式;
(3)在y轴上是否存在一点P,使得|PA-PD|的值最大?如果存在,请求出此时△ADP的周长;如果不存在,请说明理由.
考点:圆的综合题
专题:
分析:(1)在Rt△ABC中,求出tan∠CAB=
,求出∠CAB=30°,过D点作DH⊥AB,垂足为H,连OD,求出∠DOH,解直角三角形求出即可;
(2)设抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4),把D的坐标代入求出a即可;
(3)求出AD、BD长,连结BD,并延长BD交y轴于P点,则此时|PA-PD|的值最大,求出直线BD解析式,求出BD与y轴的交点即可得出P的坐标,再求出△ADB的周长即可.
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(2)设抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4),把D的坐标代入求出a即可;
(3)求出AD、BD长,连结BD,并延长BD交y轴于P点,则此时|PA-PD|的值最大,求出直线BD解析式,求出BD与y轴的交点即可得出P的坐标,再求出△ADB的周长即可.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,AB=8,CB=
,
则tan∠CAB=
,
∴∠CAB=30°,
过D点作DH⊥AB,垂足为H,连OD,
∵OA=OB=OD,
∴∠CAB=∠ODA=30°,
∴OD=OB=4,∠DOB=60°,
∴∠ODH=30°,
∴OH=
OD=2,由勾股定理得:DH=2
,
∴点D的坐标(2,2
);
(2)设抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4)
此抛物线过点D,
∴把D的坐标代入得:2
=a(2-4)(2+4),
∴a=-
,
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
(x-4)(x+4).
即y=-
x2+
;
(3)在y轴上存在一点P,使得|PA-PD|的值最大,
理由是:∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠DAB=30°,AB=4+4=8,
∴BD=
AB=4,由勾股定理得:AD=4
,
∵点A、点B关于y轴对称,
∴连结BD,并延长BD交y轴于P点,则此时|PA-PD|的值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,
把B(4,0),D(2,2
)代入得:
,
解得:k=-
,b=4
,
∴直线BD解析式为:y=-
x+4
,
把x=0代入得:y=4
,
∴点P(0,4
),
∵A、B关于y轴对称,
∴PA=PB,
∵∠ADB=90°,∠DAB=30°,
∴∠PBA=60°,
∴△PAB是等边三角形,
∴AP=PB=AB=8,
∵AD⊥PB,
∴PD=DB,
∴△ADP的周长=△ABD的周长=8+4+4
=12+4
.
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则tan∠CAB=
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∴∠CAB=30°,
过D点作DH⊥AB,垂足为H,连OD,
∵OA=OB=OD,
∴∠CAB=∠ODA=30°,
∴OD=OB=4,∠DOB=60°,
∴∠ODH=30°,
∴OH=
1 |
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∴点D的坐标(2,2
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(2)设抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4)
此抛物线过点D,
∴把D的坐标代入得:2
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∴a=-
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∴所求抛物线的函数关系式为y=-
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即y=-
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(3)在y轴上存在一点P,使得|PA-PD|的值最大,
理由是:∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠DAB=30°,AB=4+4=8,
∴BD=
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∵点A、点B关于y轴对称,
∴连结BD,并延长BD交y轴于P点,则此时|PA-PD|的值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,
把B(4,0),D(2,2
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解得:k=-
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∴直线BD解析式为:y=-
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把x=0代入得:y=4
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∴点P(0,4
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∵A、B关于y轴对称,
∴PA=PB,
∵∠ADB=90°,∠DAB=30°,
∴∠PBA=60°,
∴△PAB是等边三角形,
∴AP=PB=AB=8,
∵AD⊥PB,
∴PD=DB,
∴△ADP的周长=△ABD的周长=8+4+4
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点评:本题考查了等边三角形的性质和判定.用待定系数法求出一次函数的解析式,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,圆周角定理,轴对称的性质等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行计算的能力.
练习册系列答案
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下列说法中,你认为正确的是( )
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