题目内容
【题目】如图,抛物线的对称轴为直线
,与
轴的一个交点坐标为
,其部分图象如图所示,下列结论:
①;②方程
的两个根是
,
③
;④当
时,
的取值范围是
;⑤当
时,
随
增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A. 个 B.
个 C.
个 D.
个
【答案】C
【解析】
利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=-2a,然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断;根据二次函数的性质对⑤进行判断.
①∵抛物线与x轴有两个交点,
∴△=b24ac>0,
∴4ac<b2,结论①正确;
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3,结论②正确;
③∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,
∴b2a=1,
∴b=2a.
∵当x=1时,y=0,
∴ab+c=0,即3a+c=0,结论③错误;
④∵抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(3,0),
∴当y>0时,x的取值范围是1<x<3,结论④错误;
⑤∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∴当x<0时,y随x增大而增大,结论⑤正确。
综上所述:正确的结论有①②⑤。
故答案为:C.

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