Question

如图，双曲线与直线x＝k相交于点P，过点P作PA⊥y轴于A，y轴上的点A₁、A₂、A₃……An的坐标是连续整数，分别过A₁、A₂……An作x轴的平行线于双曲线（x＞0）及直线x＝k分别交于点B₁、B₂，……Bn，C₁、C₂，……Cn.

（1）求A的坐标；
（2）求及的值；
（3）猜想的值（直接写答案）.

Answer 1

（1）（0,1）（2），（3）

解：（1）在中当x＝k时，y＝1，
∵PA⊥y轴于A，
∴A点坐标为（0,1）.………………………………2分
（2）∵A₁、A₂…An的坐标为连续整数，
∴A₁为（0，2），A₂（0，3）.
∴B₁为（），C₁（k，2），B₂（），C₂（k，3）.
∴A₁B₁＝，B₁C₁＝，C₂B₂＝，A₂B₂＝，
∴，.  …………………………6分
（3）提示：An为（0，n＋1）
∴Bn为（），Cn（k，n＋1），
∴AnBn＝，BnCn＝，
∴.  …………………………10分
（1）由于点P为双曲线 与直线x=k的交点，则把x=k代入，得y=1，得到A点坐标为（0，1）；
（2）利用点A₁、A₂、A₃…A_n的坐标是连续整数得到A₁（0，2），A₂（0，3），易得B₁（ ，2），C₁（k，2），B₂（，3），C₂（k，3），则得A₁B₁=，B₁C₁=，C₂B₂=，A₂B₂=，于是可计算出求C₁B₁/A₁B₁、C₂B₂/A₂B₂的值；
（3）（3）先得到A_n的坐标为（0，n+1），则B_n的坐标（ ，n+1），C_n的坐标为（k，n+1），所以A_nB_n=，B_nC_n=k-=k，易得B_nC_n /A_nB_n的值．