Question

已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l₁：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l₂：y=

1

3

x相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l₁于点E，交直线l₂于点D，平行于y轴的直x=a交直线l₁于点M，交直线l₂于点N，若MN=2ED，求a的值；
（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）联立两直线解析式得：

y=-x+4 y= 1 3 x

，
解得：

x=3 y=1

，
则C坐标为（3，1）；
（2）如图1所示，将x=1代入y=-x+4得：y=-1+4=3；代入y=

1

3

x得：y=

1

3

，
∴DE=OE-OD=3-

1

3

=

8

3

，
∴MN=2DE=

16

3

，
将x=a代入y=-x+4得：y=-a+4；代入y=

1

3

x得：y=

1

3

a，
∴MN=|-a+4-

1

3

a|=

16

3

，
解得：a=-1或a=7，
则a的值为-1或7；
（3）过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，可得∠POQ=90°，
∵∠BPO=135°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠Q=∠OPQ=45°，
∴△POQ为等腰直角三角形，
∴OP=OQ，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，
∵OA=OB=4，
∴

OA

OP

=

OB

OQ

，
∴△AOP∽△BOQ，
∴∠APO=∠BQO=45°，
∴∠APB=∠BPO-∠APO=90°，
则AP⊥BP．