Question

在直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁O₁、A₂B₂C₂C₁、…、A_nB_nC_nC_n-1按如图所示的方式放置，其中点A₁、A₂、A₃、…、A_n均在一次函数y=kx+b的图象上，点C₁、C₂、C₃、…、C_n均在x轴上．若点B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），则点A_n的坐标为______．

Answer 1

∵B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），
∴正方形A₁B₁C₁O₁边长为1，正方形A₂B₂C₂C₁边长为2，
∴A₁的坐标是（0，1），A₂的坐标是：（1，2），
代入y=kx+b得

b=1 k+b=2

，
解得：

b=1 k=1

．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A₁B₁=1，点B₂的坐标为（3，2），
∴A₁的纵坐标是1，A₂的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=2²；
则A₄的横坐标是：1+2+4=7，则A₄的纵坐标是：7+1=8=2³；
据此可以得到A_n的纵坐标是：2^n-1，横坐标是：2^n-1-1．
故点A_n的坐标为 （2^n-1-1，2^n-1）．
故答案是：（2^n-1-1，2^n-1）．