题目内容
【题目】如图,四边形ABCD为矩形,O为AC中点,过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形.
(2)若AC=8,EF=6,求BF的长.
【答案】
(1)证明:∵O为AC中点,EF⊥AC,
∴EF为AC的垂直平分线,
∴EA=EC,FA=FC,
∴∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA.
∵AE∥CF,
∴∠EAC=∠FCA,
∴∠FAC=∠ECA,
∴AF∥CE,
∴四边形AFCE平行四边形,
又∵EA=EC,
∴平行四边形AFCE是菱形.
(2)解:∵四边形AFCE是菱形,AC=8,EF=6,
∴OE=3,OA=4,
又∵EF⊥AC,
∴AE=CF=5,
设BF=x,
在Rt△ABF中,
AB2=AF2﹣BF2,
在Rt△ABC中,
AB2=AC2﹣BC2.
∴52﹣x2=82-(x+5)2,
解得 x=,
∴ BF=.
【解析】(1)由中垂线定义得EF为AC的垂直平分线,再由其性质得EA=EC,FA=FC;根据等腰三角形性质——等边对等角得∠EAC=∠ECA,
∠FAC=∠FCA;由平行线的性质知∠EAC=∠FCA,等量代换即可得∠FAC=∠ECA,由平行线的判定得AF∥CE,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AFCE平行四边形;再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证.
(2)由菱形的性质和已知条件得OE=3,OA=4,再由勾股定理得AE=CF=5,设BF=x;在Rt△ABF和Rt△ABC中,由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2,AB2=AC2﹣BC2.代入数值即可得出方程,解之即可得出答案.
【考点精析】掌握等腰三角形的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本,需要知道等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.