题目内容

【题目】在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O;在Rt△PMN中,∠MPN=90°.

(1)如图1,若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分别交AD、AB于点E、F,请直接写出PE与PF的数量关系;
(2)将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α(0°<α<45°).
①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
②如图2,在旋转过程中,当∠DOM=15°时,连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出线段EF的长;
③如图3,旋转后,若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合),当BD=3BP时,猜想此时PE与PF的数量关系,并给出证明;当BD=mBP时,请直接写出PE与PF的数量关系.

【答案】
(1)

解: PE=PF,理由:

∵四边形ABCD为正方形,

∴∠BAC=∠DAC,又PM⊥AD、PN⊥AB,

∴PE=PF;


(2)

解:①成立,理由:

∵AC、BD是正方形ABCD的对角线,

∴OA=OD,∠FAO=∠EDO=45°,∠AOD=90°,

∴∠DOE+∠AOE=90°,

∵∠MPN=90°,

∴∠FOA+∠AOE=90°,

∴∠FOA=∠DOE,

在△FOA和△EOD中,

∴△FOA≌△EOD,

∴OE=OF,即PE=PF;

②如图2,作OG⊥AB于G,

∵∠DOM=15°,

∴∠AOF=15°,则∠FOG=30°,

∵cos∠FOG=

∴OF==,又OE=OF,

∴EF=

③PE=2PF,

证明:如图3,过点P作HP⊥BD交AB于点H,

则△HPB为等腰直角三角形,∠HPD=90°,

∴HP=BP,

∵BD=3BP,

∴PD=2BP,

∴PD=2 HP,

又∵∠HPF+∠HPE=90°,∠DPE+∠HPE=90°,

∴∠HPF=∠DPE,

又∵∠BHP=∠EDP=45°,

∴△PHF∽△PDE,

==

即PE=2PF,

由此规律可知,当BD=mBP时,PE=(m﹣1)PF.


【解析】(1)根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可;
(2)①根据正方形的性质和旋转的性质证明△FOA≌△EOD,得到答案;
②作OG⊥AB于G,根据余弦的概念求出OF的长,根据勾股定理求值即可;
③过点P作HP⊥BD交AB于点H,根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系,根据解答结果总结规律得到当BD=mBP时,PE与PF的数量关系.
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识,掌握定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上,以及对勾股定理的概念的理解,了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2

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