题目内容
【题目】如图,直线y=x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+
x+c经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值?
(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵直线y=x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,
∴点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(4,0),
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点,
∴
解得
∴y=.
(2)
解:如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,
,
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点,
∴设点E的坐标是(x,),
则点M的坐标是(x,x+3),
∴EM=﹣(
+3)=
x2+
x,
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
=
=×(
)×4
=x2+3x
=(x﹣2)2+3,
∴当x=2时,即点E的坐标是(2,3)时,△BEC的面积最大,最大面积是3.
(3)
解:在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.
①如图2,
,
由(2),可得点M的横坐标是2,
∵点M在直线y=x+3上,
∴点M的坐标是(2, ),
又∵点A的坐标是(﹣2,0),
∴AM= =
,
∴AM所在的直线的斜率是: =
;
∵y= x2+
x+3的对称轴是x=1,
∴设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x, x2+
x+3),则:
解得或
∵x<0,
∴点P的坐标是(﹣3, ).
②如图3,
,
由(2),可得点M的横坐标是2,
∵点M在直线y=x+3上,
∴点M的坐标是(2, ),
又∵点A的坐标是(﹣2,0),
∴AM= =
,
∴AM所在的直线的斜率是: =
;
∵y= x2+
x+3的对称轴是x=1,
∴设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x, x2+
x+3),则:
解得或
∵x>0,
∴点P的坐标是(5, ).
③如图4,
,
由(2),可得点M的横坐标是2,
∵点M在直线y=x+3上,
∴点M的坐标是(2, ),
又∵点A的坐标是(﹣2,0),
∴AM= =
,
∴AM所在的直线的斜率是: =
;
∵y= x2+
x+3的对称轴是x=1,
∴设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x, x2+
x+3),则:
解得
∴点P的坐标是(﹣1, ).
综上,可得
在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形,
点P的坐标是(﹣3,)、(5,
)、(﹣1,
).
【解析】(1)首先根据直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,求出点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(4,0);然后根据抛物线y=ax2+
x+c经过B、C两点,求出a\c的值是多少,即可求出抛物线的解析式.
(2)首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,然后设点E的坐标是(x,﹣x2+
x+3),则点M的坐标是(x,﹣
x+3),求出EM的值是多少;最后根据三角形的面积的求法,求出S△ABC , 进而判断出当△BEC面积最大时,点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可.
(3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论,根据平行四边形的特征,求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可.
【考点精析】利用二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案,需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a.
