题目内容
【题目】如图，直线y=
x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+
x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：∵直线y=
x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+
x+c经过B、C两点，
∴
解得
∴y=
.
（2）
解：如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，），
则点M的坐标是（x，x+3），
∴EM=﹣（+3）=
x2+
x，
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
=
=
×（
）×4
=x2+3x
=（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）
解：在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=x+3上，
∴点M的坐标是（2， ），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM=
= 
，
∴AM所在的直线的斜率是：
=
；
∵y= x2+ x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+ x+3），则:
解得
或
∵x＜0，
∴点P的坐标是（﹣3，
）．
②如图3，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=x+3上，
∴点M的坐标是（2， ），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM= = ，
∴AM所在的直线的斜率是： = ；
∵y= x2+ x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+ x+3），则:
解得或
∵x＞0，
∴点P的坐标是（5， ）．
③如图4，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=x+3上，
∴点M的坐标是（2， ），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM= = ，
∴AM所在的直线的斜率是： = ；
∵y= x2+ x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+ x+3），则:
解得
∴点P的坐标是（﹣1， 
）．
综上，可得
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（﹣3，）、（5，）、（﹣1， ）．
【解析】（1）首先根据直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，求出a\c的值是多少，即可求出抛物线的解析式．
（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC ， 进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【考点精析】利用二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．
