题目内容
【题目】如图1，在菱形ABCD中，AB=5，tan∠ABC=
，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)，将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD)，得到对应线段CF．
(1)求证：BE=DF；
(2)当t=___秒时，DF的长度有最小值，最小值等于___；
(3)如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形?
(4)在点E的运动过程中，是否存在到直线AD的距离为1的点F，若存在直接写出 t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2) 8， 4；(3)当t=3或5时，△EPQ是直角三角形；(4)存在， t =
或
【解析】
（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得； （2）当点E运动至点E′，
时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；
（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据AB=CD=5 ，tan∠ABC=tan∠ADC=
，即可求得DE；
②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE ；
（4）当
在
的上方时，如图3，把
绕Ｃ顺时针旋转
得
，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF，可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD，根据tan∠ABC=tan∠CGN=，可得GM，由GF=DE=t可得FM， 利用tan∠FMH=tan∠ABC= ，即可得
的值．同理可得：当在的下方时的值，
解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF=∠BCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC，
在△DCF和△BCE中，
∵ 
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF=BE；
（2）如图1， 当点E运动至点E′，时，DF=BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=5 ，tan∠ABC=tan∠BAE′=，
∴设AE′=x，则BE′=
，
∴AB=
=
，
则AE′=
∴DE′=
DF=BE′=
故答案为：
；
（3）∵CE=CF， ∴∠CEQ＜90°，
①当∠EQP=90°时，如图2①， ∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP=90°，
∵AB=CD=5，tan∠ABC=tan∠ADC=，
由（1）得：菱形的高：
，
∴DE=3，
∴t=3秒；
②当∠EPQ=90°时，如图2②， ∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴EC与AC重合，
∴DE=5，
∴t=5秒；
综上：当t=3或5时，△EPQ是直角三角形；
（4）存在．
或
理由如下：
当在的上方时，如图3，把绕Ｃ顺时针旋转得，
连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，
由（1）知∠1=∠2，
又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，
∴∠DCE=∠GCF，
在△DCE和△GCF中，
∵
∴△DCE≌△GCF（SAS），
∴∠3=∠4， ∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠4， ∴GF∥CD，
又∵AH∥BN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴MN=CD=，
∵∠BCD=∠DCG，
∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，
∴GC=CN=CD=5，
∵tan∠ABC=tan∠CGN=，
∴GN=6，
∴GM=11，
∵GF=DE=t，
∴FM=t-11，
∵tan∠FMH=tan∠ABC=，
∴
．
当在的下方时，如图3，把绕Ｃ顺时针旋转得，
连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，
同理可得：四边形CDMN是平行四边形，
由
，
综上：点E的运动过程中，存在到直线AD的距离为1的点F，此时，或
