Question

如图，线段AC与BD交于O，DO=DC，AO=AB，E，F，G分别是OB，OC，AD中点
（1）如图1，当∠AOB=60°时，EG与FG的数量关系是________，∠EGF=________；
如图2，当∠AOB=45°时，EG与FG的数量关系是________，∠EGF=________；
（2）如图3，当∠AOB=θ时，EG与FG的数量关系是________，∠EGF=________；
（3）请你从上述三个结论中选择一个结论加以证明

Answer 1

解：（1）当∠AOB=60°时，
证明：连接DF与EG，
∵DO=DC，AO=AB，
∵∠DOC=∠AOB=60°，
∴△DOC与△AOB是等边三角形，
∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=AD，FG=AD，
∴EG=FG，
∵∠DCO=∠BAO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∵∠CDO=∠CDA=∠OAB=BAO=30°，
∴∠ADF+∠EAG=120°，
∵DG=GF=AG=EG=AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=120°，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=240°，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=120°，
∴∠FGE=60°；

当∠AOB=45°时，
证明：连接DF与EG，
∵DO=DC，AO=AB，
∵∠DOC=∠AOB=45°，
∴△DOC与△AOB是等腰直角三角形，
∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=AD，FG=AD，
∴EG=FG，
∵∠DCO=∠BAE=45°，
∴AE∥CD，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠CDO=∠CDO=∠OAB=BAO=45°，
∴∠ADF+∠EAG=135°，
∵DG=GF=AG=EG=AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=135°，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=270°，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=190°，
∴∠FGE=90°；

（2）当∠AOB=θ时，
证明：连接DF与AE，
∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=∠DCO=∠ABO=θ，
∴△DOC与△AOB是等腰三角形，
∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=AD，FG=AD，
∴EG=FG，
∵∠FDO=∠EAO=90°-θ，
∴∠ODA+∠OAD=θ，
∴∠FDA+∠EAD=180°-θ，
∵DG=GF=AG=EG=AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=180°-θ，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=360°-2θ，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=180°-2θ，
∴∠FGE=180°-2θ．
故答案为：（1）EG=FG，60°； EG=FG，90°；
（2）EG=FG，180°-2θ；
（3）选择证明即可．
分析：（1）由DO=DC，AO=AB，∠DOC=∠AOB=60°，可得：△DOC与△AOB是等边三角形，由三线合一可得DF⊥AC，AE⊥BD，又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得EG=FG，又由DG=GF=AG=EG=AD，利用等边对等角，即可求得∠FGE的度数；∠AOB=45°时，方法一样；
（2）与（1）的方法类似，注意此时△DOC与△AOB是等腰三角形，由等腰三角形中的三线合一仍可求得结果．
（3）根据以上分析证明即可．
点评：此题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识．题目难度适中，注意数形结合思想的应用．