Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC=∠C；
（2）求证：BD=2AC；
（3）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形．
又∵点E是BD的中点，
∴AE=

1

2

BD．
又∵BE=

1

2

BD，
∴AE=BE，∴∠B=∠BAE．
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B．
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C．（4分）

（2）证明：由（1）可得AE=AC，
又∵AE=

1

2

BD，
∴

1

2

BD=AC，
∴BD=2AC．（4分）

（3）在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13
∴AB=

BD2-AD2

=

132-52

=12（1分）
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25．（1分）