Question

在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值．

Answer 1

（1）证明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连结OD，

∵，∴．
又∵BD为∠ABC的平分线，∴．
∵，∴．
∴，即∴
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
（2） 解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，，
∴
∵，，∴△ADO∽△ACB．
∴．∴．
∴．∴
又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC
∴．

（1）因为点D在⊙O上，所以只要连结圆心和圆上这点，证明OD和AC垂直即可.
利用角平分线、等腰三角形、直角三角形两锐角互余，完成证明.
（2）利用勾股定理求得AB的长.；利用△ADO∽△ACB对应线段成比例求得BE的长；利用△BEF∽△BAC得=，从而问题得解.