Question

如图,是的角平分线, 延长交的外接圆于点,过三点的圆交的延长线于点，连结．
(1)求证：∽；
(2) 若, 求的长；
(3) 若∥, 试判断的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：连结两圆的相交弦
在圆中，，
在圆中，，
∴，
又因为是角平分线，得∠BAE=∠CAE，       
∴，
∵，
∴∽．             
（2）∵∽，
∴ ，             
∴，
∴．              
（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，
得到：，，
∴，
∵=180°，
∴=180°，
又=180，
∴ ．
∵∥，，
又∵，
∴∠AEB =∠ABE ，
∴为等腰三角形．

（1）可通过证两组对应角相等来证两三角形相似．
（2）根据（1）中得出的相似三角形即可得出AE，DE，EF这三条线段的比例关系，有了AD，DE的长，即可求出EF的值．
（3）可通过证角的关系来得出三角形的形状．