题目内容
如图,凸四边形ABCD内接于⊙O,
=
=90°,AB+CD为一偶数.
求证:四边形ABCD面积为一完全平方数.
AD |
BC |
求证:四边形ABCD面积为一完全平方数.
∵
=
,∴AB∥DC,ABCD为梯形.
过O作MN⊥AB于M交CD于N,易知MN⊥CD于N,由垂径定理知M为AB中点,N为CD中点,连接OA,OD.
∵∠AOD=90°,
∴∠AOM=90°-∠DON=∠ODN,
从而有Rt△AOM≌Rt△ODN?OM=DN=
CD,ON=AM=
AB
∴MN=OM+ON=
(AB+CD)
∴SABCD=
(AB+CD)MN
=
(AB+CD)
(AB+CD)
=[
(AB+CD)]2
∵AB+CD为偶数,
∴SABCD必是完全平方数.
AD |
BC |
过O作MN⊥AB于M交CD于N,易知MN⊥CD于N,由垂径定理知M为AB中点,N为CD中点,连接OA,OD.
∵∠AOD=90°,
∴∠AOM=90°-∠DON=∠ODN,
从而有Rt△AOM≌Rt△ODN?OM=DN=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴MN=OM+ON=
1 |
2 |
∴SABCD=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
=[
1 |
2 |
∵AB+CD为偶数,
∴SABCD必是完全平方数.
练习册系列答案
相关题目