题目内容
【题目】如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,在线段AD上任取一点P(点A除外),过点P作EF∥AB,分别交AC,BC于点E和点F,作PQ∥AC,交AB于点Q,连接QE.
(1)求证:四边形AEPQ为菱形;
(2)当点P在何处时,菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半?
【答案】
(1)证明:∵EF∥AB,PQ∥AC,
∴四边形AEPQ为平行四边形,
∴∠BAD=∠EPA,
∵AB=AC,AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠CAD=∠EPA,
∴EA=EP,
∴四边形AEPQ为菱形.
(2)解:P为EF中点时,S菱形AEPQ= S四边形EFBQ
∵四边形AEPQ为菱形,
∴AD⊥EQ,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,
∴EQ∥BC,
又∵EF∥AB,
∴四边形EFBQ为平行四边形.
作EN⊥AB于N,如图所示:
则S菱形AEPQ=EPEN= EFEN= S四边形EFBQ.
【解析】(1)先证出四边形AEPQ为平行四边形,关键是找一组邻边相等,由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP=∠EPA,得出AE=EP,即可得出结论;(2)S菱形AEPQ=EPh,S平行四边形EFBQ=EFh,若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半,则EP= EF,因此P为EF中点时,S菱形AEPQ= S四边形EFBQ .
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