如图.直角梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=90°.已知AD=AB=3.BC=4.动点P从B点出发.沿线段BC向点C做匀速运动,动点Q从点D出发.沿线段DA向点A做匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M.交BC于点N.P.Q两点同时出发.速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点时.P.Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.(1)求NC.MC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C做匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A做匀速运动，过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N、P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒。
（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

解：（1）在直角梯形ABCD中， ∵QN⊥AD，∠ABC=90°， ∴四边形ABNQ是矩形， ∵QD=t，AD=3， ∴BN=AQ=3-t， ∴NC=BC-BN=4-（3-t）=t+1， ∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°， ∴AC=5， ∵AB∥QN， ∴MN∥AB， ∴ 即， ∴；
（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形， ∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）∵MN∥AB， ∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为， ∴ 即， ∴， ∴， ∴ ∵△ABC的周长的一半， ∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分；
（4）分3种情况： ①如图（1），当PM=MC时，△PMC为等腰三角形，则PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴，即时，△PMC为等腰三角形； ②如图（2），当CM=PC时，△PMC为等腰三角形，即，解得 ∴时，△PMC为等腰三角形； ③如图（3），当PM=PC时，△PMC为等腰三角形， ∵PC=4-t，NC=t+1， ∴PN=2t-3，又∵， ∴，由勾股定理可得，解得，t₂=-1（舍去），即当时，△PMC为等腰三角形，综上所述，当t=，，时，△PMC为等腰三角形。