Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

Answer 1

(1) y=x²﹣x+2， A（2，0），B（6，0）；（2）存在，2；(3) .

解析试题分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；
（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；
（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．
试题解析：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）²﹣（a≠0）

∵抛物线经过（0，2）
∴a（0﹣4）²﹣=2
解得：a=
∴y=（x﹣4）²﹣
即：y=x²﹣x+2
当y=0时，x²﹣x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，

因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2，
∴AP+CP=BC=2
∴AP+CP的最小值为2；
（3）如图3，连接ME

∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE
∵在△COD与△MED中
,
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
设OD=x
则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x
则RT△COD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+2²=（4﹣x）²
∴x=
∴D（，0）
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，
则，解得：
∴直线CE的解析式为.
考点: 二次函数综合题．