Question

【题目】如图，已知抛物线y= x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）b= ， 点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y= x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．
求S的取值范围；
（4）若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有个．

Answer 1

【答案】
（1）
+c；﹣2c
（2）

解：方法一：

∵抛物线y= x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，

∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．

设直线BC的解析式为y=kx+c，

∵B（﹣2c，0），

∴﹣2kc+c=0，

∵c≠0，

∴k= ，

∴直线BC的解析式为y= x+c．

∵AE∥BC，

∴可设直线AE得到解析式为y= x+m，

∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴ ×（﹣1）+m=0，解得m= ，

∴直线AE得到解析式为y= x+ ．

由 ，解得 ， ，

∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．

∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），

∴直线CD的解析式为y=﹣ x+c．

∵C，D，E三点在同一直线上，

∴1﹣c=﹣ ×（1﹣2c）+c，

∴2c2+3c﹣2=0，

∴c1= （与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，

∴b= +c=﹣ ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣2

方法二：

B（﹣2c，0），C（0，c），

∴KBC= ，

∵AE∥BC，∴KAE=KBC= ，

∵A（﹣1，0），

∴lAE：y= x+ ，

∵抛物线：y= x2+（c+ ）x+c，

x2+（c+ ）x+c= x+ ，

经整理：x2+2cx+2c﹣1=0，

（x+2c﹣1）（x+1）=0，

∴x1=﹣2c+1，x2=﹣1，

∴E（﹣2c+1，﹣c+1），C（0，c），D（2，0）三点共线，

∴KCD=KDE，∴ ，

经整理，得2c2+3c﹣2=0，

解得：c=﹣2或c= （舍），

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣2

（3）

解：方法一：①设点P坐标为（x， x2﹣ x﹣2）．

∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），

∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y= x﹣2．

分两种情况：

（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．

∵S△ACB= ABOC=5，

∴0＜S＜5；

（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．

∴点F坐标为（x， x﹣2），

∴PF=PG﹣GF=﹣（ x2﹣ x﹣2）+（ x﹣2）=﹣ x2+2x，

∴S=S△PFC+S△PFB= PFOB= （﹣ x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴当x=2时，S最大值=4，

∴0＜S≤4．

综上可知0＜S＜5

方法二：①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC′于F，

lBC：y= x﹣2，设P（m， m2﹣ m﹣2），那么F（m， m﹣2），

∴FP=﹣ m2+2m，

∴S△PBC= FP（BX﹣CX）=2FP，

S△PBC=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，

因此当P在BC下方时，S△PBC的最大值为4，

当P在BC上方时，∵S△ABC=5，∴S△PBC＜5，

综上所述：0＜S△PBC＜5，

（4）

11

【解析】方法一：
解：（1）∵抛物线y= x2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0= ×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，
∴b= +c，
∵抛物线y= x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（xB ， 0）（点A位于点B的左侧），
∴﹣1与xB是一元二次方程 x2+bx+c=0的两个根，
∴﹣1xB= ，
∴xB=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；
4）∵0＜S＜5，S为整数，
∴S=1，2，3，4．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），
∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2 ， ∠ACB=90°，BC边上的高AC= ．
∵S= BCh，∴h= = = S．
如果S=1，那么h= ×1= ＜ ，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=2，那么h= ×2= ＜ ，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=3，那么h= ×3= ＜ ，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=4，那么h= ×4= ＜ ，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当﹣1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=﹣x2+4x．
如果S=1，那么﹣x2+4x=1，即x2﹣4x+1=0，
∵△=16﹣4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=2，那么﹣x2+4x=2，即x2﹣4x+2=0，
∵△=16﹣8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=3，那么﹣x2+4x=3，即x2﹣4x+3=0，
∵△=16﹣12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=4，那么﹣x2+4x=4，即x2﹣4x+4=0，
∵△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个；
综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个．
所以答案是 +c，﹣2c；11．
方法二：
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．

【考点精析】本题主要考查了根与系数的关系的相关知识点，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能正确解答此题．