题目内容

如图,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A,C分别在y轴,x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B两点,且3a-b=-1.
(1)求a,b,c的值;
(2)如果动点E,F同时分别从点A,点B出发,分别沿A→B,B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E,F随之停止运动,设运动时间为t秒,△EBF的面积为S.
①试求出S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1);(2)s=-(t-3)2+; (9,3).

试题分析:(1)由于四边形OABC是正方形,易知点A的坐标,将A、B的坐标分别代入抛物线的解析式中,联立3a-b=-1,即可求得待定系数的值.
(2)①用t分别表示出BE、BF的长,利用直角三角形面积公式求出△EBF的面积,从而得到关于S、t的函数关系式,根据函数的性质即可求得S的最大值;
②当S取最大值时,即可确定BE、BF的长,若E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形,可有两种情况:一、EB平行且相等于FR,二、ER平行且相等于FB;只需将E点坐标向上、向下平移BF个单位或将F点坐标向左、向右平移BE个单位,即可得到R点坐标,然后将它们代入抛物线的解析式中进行验证,找出符合条件的R点即可.
(1)由已知A(0,6),B(6,6)在抛物线上,
得方程组,解得

(2)①运动开始t秒时,EB=6-t,BF=t,
S=EB•BF=(6-t)t=-t2+3t,
以为S=-t2+3t=-(t-3)2+
所以当t=3时,S有最大值
②当S取得最大值时,
∵由①知t=3,
∴BF=3,CF=3,EB=6-3=3,
若存在某点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形,
则FR1=EB且FR1∥EB,
即可得R1为(9,3),R2(3,3);
或者ER3=BF,ER3∥BF,可得R3(3,9).
再将所求得的三个点代入y=-x2+x+6,可知只有点(9,3)在抛物线上,
因此抛物线上存在点R(9,3),使得四边形EBRF为平行四边形.
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