Question

【题目】若实数a，b满足a+b＝1时，就称点P（a，b）为“平衡点”．

（1）判断点A（3，﹣4）、B（-1，2-）是不是平衡点；

（2）已知抛物线y＝x2+（p﹣t﹣1）x+q+t﹣3（t＞3）上有且只有一个“平衡点”，且当﹣2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）A不是平衡点，B是平衡点；

（2）t＝4+．

【解析】

（1）只需将横纵坐标相加后是否等于即可判断；

（2）由题意可设该平衡点为（a，1-a），代入抛物线中，由于有且只有一个平衡点，所以△=0，再利用题目的条件即可求出t的值.

解：（1）∵A的坐标是（3，﹣4）

3+（-4）=-1，不满足“平衡点”的定义，

∴A不是平衡点；

又∵B的坐标是（-1，2-）

-1+2-=1，满足“平衡点”的定义，

∴B是平衡点；

（2）设抛物线的平衡点为（a，1﹣a），

把（a，1﹣a）代入y＝x2+（p﹣t﹣1）x+q+t﹣3；

∴化简后可得：a2+（p﹣t）a+q+t﹣4＝0，

由于有且只有一个平衡点，

∴关于a的一元二次方程，△＝0，

∴化简后为q＝（p﹣t）2+4﹣t，

∴q是p的二次函数，对称轴为x＝t＞3，

∵﹣2≤p≤3，

∴q随p的增大而减小，

∴当p＝3时，q可取得最小值，

∴（3﹣t）2+4﹣t＝t，

∴解得：t＝4±，

∵t＞3，

∴t＝4+．