Question

（1）如图1，点E为?ABCD的边AD上一点，点P为CD中点，连结EP并延长与BC的延长线交于点F．求证：DE=CF．
（2）如图2，∠AOB=100°，若点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，求∠ACB的度数．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：分类讨论

分析：（1）根据平行四边形性质得出AD∥BC，推出∠D=∠DCF，根据ASA推出两三角形全等即可；
（2）分为两种情况，画出图形，根据圆周角定理求出∠AC₁B，即可求出∠AC₂B，

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠PCF，
∵P为CD中点，
∴DP=CP，
在△DEP和△CFP中

∠D=∠PCF DP=CP ∠DPE=∠CPF

∴△DEP≌△CFP，
∴DE=CF．

（2）解：当C在优弧AB上时，如图C₁处，
∵∠AOB=100°，
∴∠ACB=

1

2

AOB=

1

2

×110°=55°；
当C在劣弧AB上时，如图C₂处，
∵A、C₂、B、C₁四点共圆，
∴∠AC₂B=180°-∠AC₁B=180°-55°=125°；
即∠ACB的度数是55°或125°．

点评：本题考查了平行线性质，平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．