Question

观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=5²；
2×3×4×5+1=121=11²：
3×4×5×6+1=361=19²；…
根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=______．

Answer 1

由1×2×3×4+1=25=5²=（0²+5×0+5）²；
2×3×4×5+1=121=11²=（1²+5×1+5）²；
3×4×5×6+1=361=19²=（2²+5×2+5）²，…
观察发现：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=（n²+5n+5）²．
证明：等式左边=（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1
=（n²+3n+2）（n²+7n+12）+1
=n⁴+7n³+12n²+3n³+21n²+36n+2n²+14n+25
=n⁴+10n³+35n²+50n+25
=n⁴+2n²（5n+5）+（5n+5）²
=（n²+5n+5）²=等式右边．
故答案为：（n²+5n+5）²