Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x²＋mx＋n的图象经过点A(2，0)和点B(1，－)，直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y₁随时间t(t≥0)的变化规律为y₁＝－＋2t．现以线段OP为直径作⊙C．

①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由；

②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y₂随时间t的变化规律为y₂＝－1＋3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a²的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)将点和点的坐标代入，得，解得， 　　∴二次函数的表达式为；3分 　　(2)①当点在点处时，直线与相切，理由如下： 　　∵点，∴圆心的坐标为，∴的半径为， 　　又抛物线的顶点坐标为(0，－1)，即直线l上所有点的纵坐标均为－1，从而圆心C到直线l的距离为，∴直线与相切；5分 　　在点运动的过程中，直线与始终保持相切的位置关系，理由如下： 　　方法一：设点，则圆心的坐标为，∴圆心C到直线l的距离为，又∵，∴，则的半径为， 　　∴直线与始终相切．7分 　　方法二：设点≥1)，则圆心的坐标为，∴的半径为，而圆心C到直线l的距离为，∴直线与始终相切．7分 　　②由①知，圆C的半径为． 　　又∵圆心C的纵坐标为，直线l上的点的纵坐标为，所以 　　(ⅰ)当≥，即≤时，圆心C到直线l的距离为，则由，得，解得， 　　∴此时≤；8分 　　(ⅱ)当＜，即＞时，圆心C到直线l的距离为，则由，得，解得， 　　∴此时＜； 　　综上所述，当时，直线与相交．9分 　　(说明：若学生就写成≤或＜，得全分；若学生依据直观，只考虑圆心C在直线l下方的情况，解出后，就得，也给全分) 　　∵当时，圆心C到直线l的距离为，又半径为， 　　∴，11分 　　∴当时，取得最大值为．12