题目内容

如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.
(1)求证:△APQ∽△CDQ;
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动,移动时间为t秒.
①当t为何值时,DP⊥AC?
②设,写出y与t之间的函数解析式,并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时,y取得最小值.

(1)证明见解析;(2)①5;②,8-9.

解析试题分析:(1)如图,由矩形的性质求出∠1=∠2,∠3=∠4即可证明△APQ∽△CDQ.
(2)①当DP⊥AC时,由△ADC∽△PAD列比例式可求解.
②根据相似,求出两个三角形的高(用t的代数式表示),即可求出y与t之间的函数解析式;列表求出函数值得出P点运动到第8秒到第9秒之间时,y取得最小值.
试题解析:(1)如图,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD. ∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴△APQ∽△CDQ.

(2)①当DP⊥AC时,∴∠4+∠2=90 o.
又∵∠5+∠2=90 o,∴∠4=∠5.
又∵∠ADC=∠DAP=90 o,∴△ADC∽△PAD.∴,即.∴PA=5.
∵P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动,∴t=5.
②设△APQ的边AP上的高为h,则△DCQ的边上的高为.
∵由(1)△APQ∽△CDQ,∴.∴.∴.
.
.
∴y与t之间的函数解析式为.
给出t的部分取值,计算出y的对应值列表如下:

t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
100
95.48
91.88
88.91
86.67
85
83.85
83.15
82.86
82.93
83.33
t
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