题目内容
如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:
①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四边形AEPF=
S△ABC;④EF=AP.上述结论始终正确的有 (填写序号)
①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四边形AEPF=
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考点:全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题:
分析:根据等腰直角三角形的性质得:AP⊥BC,AP=
BC,AP平分∠BAC.所以可证∠C=∠EAP;∠FPC=∠EPA;AP=PC.即证得△APE与△CPF全等.根据全等三角形性质判断结论是否正确.
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解答:解:∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角,
∴∠APE=∠CPF,
∵AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中点,
∴AP=CP,
∴∠PAE=∠PCF,
在△APE与△CPF中,
,
∴△APE≌△CPF(ASA),
同理可证△APF≌△BPE,
∴AE=CF,△EPF是等腰直角三角形,S四边形AEPF=
S△ABC,①②③正确;
而AP=
BC,当EF不是△ABC的中位线时,则EF不等于BC的一半,EF=AP,
∴故④不成立.
故始终正确的是①②③.
故答案为:①②③.
∴∠APE=∠CPF,
∵AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中点,
∴AP=CP,
∴∠PAE=∠PCF,
在△APE与△CPF中,
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∴△APE≌△CPF(ASA),
同理可证△APF≌△BPE,
∴AE=CF,△EPF是等腰直角三角形,S四边形AEPF=
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而AP=
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∴故④不成立.
故始终正确的是①②③.
故答案为:①②③.
点评:本题主要考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用,三角形的中位线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.
练习册系列答案
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