Question

【题目】如图，抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于点 A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为轴上一动点，过点M且垂直于轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；

②点M在轴上自由运动，若三个点M、P、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的 m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（1，0），（2，0）；（3）m＝1，－2， ．

【解析】试题分析：（1）把点坐标代入抛物线解析式可求得，可求得抛物线解析式；
（2）①由点坐标可表示的坐标，从而可表示出的长，分和两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得的值；
②用可表示出的坐标，由题意可知有为线段的中点、为线段的中点或为线段的中点，可分别得到关于的方程，可求得的值．

试题解析：
(1) 把点代入抛物线

∴3=0+c，解得c=3，

∴抛物线解析式为

(2) ∵与x轴交于点A(3,0)，可知直线解析式为y=-x+3，

∵M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

或

当时，则有BN⊥MN，

∴BN=OM=m，

即解得m=0(舍去)或m=2，

当时,则有

∴

解得m=0(舍去)或m=1，

综上可知当以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似时,点M的坐标为(2,0)或(1,0)；

②由①可知

∵M，P，N三点为“共谐点”，

∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，

当P为线段MN的中点时,则有, 解得m=3(三点重合,舍去)或m=1；

当M为线段PN的中点时,则有解得m=3(舍去)或m=2；

当N为线段PM的中点时,则有解得m=3(舍去)或

综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为1或2或