题目内容
【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,记∠ABC=α,点D为射线BC上的动点,连接AD,将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE,过点A作AD的垂线,与射线DE交于点P,点B关于点D的对称点为Q,连接PQ.
(1)当△ABD为等边三角形时,
①依题意补全图1;
②PQ的长为 ;
(2)如图2,当α=45°,且BD=时,求证:PD=PQ;
(3)设BC=t,当PD=PQ时,直接写出BD的长.(用含t的代数式表示)
【答案】(1)①详见解析;②2;(2)详见解析;(3)BD=.
【解析】
(1)①根据题意画出图形即可.
②解直角三角形求出PA,再利用全等三角形的性质证明PQ=PA即可.
(2)作PF⊥BQ于F,AH⊥PF于H.通过计算证明DF=FQ即可解决问题.
(3)如图3中,作PF⊥BQ于F,AH⊥PF于H.设BD=x,则CD=x﹣t, ,利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题.
(1)解:①补全图形如图所示:
②∵△ABD是等边三角形,AC⊥BD,AC=1
∴∠ADC=60°,∠ACD=90°
∴
∵∠ADP=∠ADB=60°,∠PAD=90°
∴PA=ADtan60°=2
∵∠ADP=∠PDQ=60°,DP=DP.DA=DB=DQ
∴△PDA≌△PDQ(SAS)
∴PQ=PA=2.
(2)作PF⊥BQ于F,AH⊥PF于H,如图:
∵PA⊥AD,
∴∠PAD=90°
由题意可知∠ADP=45°
∴∠APD=90°﹣45°=45°=∠ADP
∴PA=PD
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∵AH⊥PF,PF⊥BQ
∴∠AHF=∠HFC=∠ACF=90°
∴四边形ACFH是矩形
∴∠CAH=90°,AH=CF
∵∠ACH=∠DAP=90°
∴∠CAD=∠PAH
又∵∠ACD=∠AHP=90°
∴△ACD≌△AHP(AAS)
∴AH=AC=1
∴CF=AH=1
∵,BC=1,B,Q关于点D对称
∴,
∴
∴F为DQ中点
∴PF垂直平分DQ
∴PQ=PD.
(3)如图3中,作PF⊥BQ于F,AH⊥PF于H.设BD=x,则CD=x﹣t,
∵PD=PQ,PF⊥DQ
∴
∵四边形AHFC是矩形
∴
∵△ACB∽△PAD
∴
∴
∴
∵△PAH∽△DAC
∴
∴
解得
∴.
故答案是:(1)①详见解析;②2;(2)详见解析;(3).
