题目内容

一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE=x
（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．
（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？

解：设平行四边形AGEF的面积是S．
∵四边形AGEF是平行四边形，
∴EF∥AG；
∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，
∴∠A=∠CFE=30°，
∴CF= $\text{[math]}$ x，AC=6 $\text{[math]}$ ，
∴AF=6 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x；
∴S=AF•CE=（6 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x）x=- $\text{[math]}$ x²+6 $\text{[math]}$ x，即S=- $\text{[math]}$ x²+6 $\text{[math]}$ x；
（1）当x=2时，S=-4 $\text{[math]}$ +12 $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$ ，即S=8 $\text{[math]}$ ．
答：平行四边形AGEF的面积为 $\text{[math]}$ （平方单位）…4分
（2）由S=- $\text{[math]}$ x²+6 $\text{[math]}$ x，得
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴当x=3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是 $\text{[math]}$ （平方单位）…9分．
分析：设平行四边形AGEF的面积是S．利用平行四边形AGEF的对边互相平行知EF∥AG，所以同位角∠A=∠CFE=30°；然后在直角三角形ABC和直角三角形BEF中利用锐角三角函数的定义求得CF、AC的长度，从而求得平行四边形AGEF的底边AF=AC-CF；最后根据平行四边形的面积公式S=底×高得出关于S与x的函数关系式S=- $\text{[math]}$ x²+6 $\text{[math]}$ x；
（1）将x=2代入S与x的函数关系式S=- $\text{[math]}$ x²+6 $\text{[math]}$ x，并求解即可；
（2）利用配方法求二次函数的最值．
点评：本题考查了平行四边形的性质、二次函数的最值．解答本题的关键是求出平行四边形AGEF的底边AF、底边上的高线CE的长度．