题目内容
（2012•道外区二模）一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=6米．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、BC上、设边AE的长为x米，矩形CDEF的面积为S平方米．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）根据（1）中的函数关系式，计算当x为何值时S最大，并求出最大值．
参考公式：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=-
| b |
| 2a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
分析：（1）在直角三角形ADE中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半可求出DE的长，进而求出AD，同理在直角三角形ACB中可求出AC，所以就可以求出DC的长，即矩形DEFC的长，再利用矩形的面积公式即可得到S和x的函数关系式；
（2）利用求二次函数最值公式即可求出当x为何值时S最大，以及最大值．
（2）利用求二次函数最值公式即可求出当x为何值时S最大，以及最大值．
解答：解：（1）∵四边形DEFC是矩形，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=30°，
∴DE=
AE，
∵AE=x，
∴DE=
x，
∴AD=
x，
同理在直角三角形ACB中，AC=
=3
米，
∴DC=AC-AD=3
-
x，
∴S矩形DECF=DE•CD=
x（3
-
x）=-
x2+
x，
（2）∵S矩形DECF=-
x2+
x，
∴a=-
＜0，
∴S有最大值，
∴x=-
=3时，S最大=
=
，
∴当AB的长是3米时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是
平方米．
∵四边形DEFC是矩形，∴∠ADE=90°，
∵∠A=30°，
∴DE=
| 1 |
| 2 |
∵AE=x，
∴DE=
| 1 |
| 2 |
∴AD=
| ||
| 2 |
同理在直角三角形ACB中，AC=
| AB2-CB2 |
| 3 |
∴DC=AC-AD=3
| 3 |
| ||
| 2 |
∴S矩形DECF=DE•CD=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
3
| ||
| 2 |
（2）∵S矩形DECF=-
| ||
| 4 |
3
| ||
| 2 |
∴a=-
| ||
| 4 |
∴S有最大值，
∴x=-
| b |
| 2a |
| 4ac-b2 |
| 4a |
9
| ||
| 4 |
∴当AB的长是3米时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是
9
| ||
| 4 |
点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形ADE中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理的运用，利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质，确定x，y的取值和面积的最大值是解题的关键．
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