题目内容

一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=6米．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、BC上、设边AE的长为x米，矩形CDEF的面积为S平方米．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）根据（1）中的函数关系式，计算当x为何值时S最大，并求出最大值．
参考公式：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当x= $数学公式$ 时，y_{最大（小）值}= $数学公式$ ．

解：（1）

∵四边形DEFC是矩形，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=30°，
∴DE= $\text{[math]}$ AE，
∵AE=x，
∴DE= $\text{[math]}$ x，
∴AD= $\text{[math]}$ x，
同理在直角三角形ACB中，AC= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ 米，
∴DC=AC-AD=3 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x，
∴S_矩形DECF=DE•CD= $\text{[math]}$ x（3 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
（2）∵S_矩形DECF=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
∴a=- $\text{[math]}$ ＜0，
∴S有最大值，
∴x=- $\text{[math]}$ =3时，S_最大= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当AB的长是3米时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是 $\text{[math]}$ 平方米．
分析：（1）在直角三角形ADE中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半可求出DE的长，进而求出AD，同理在直角三角形ACB中可求出AC，所以就可以求出DC的长，即矩形DEFC的长，再利用矩形的面积公式即可得到S和x的函数关系式；
（2）利用求二次函数最值公式即可求出当x为何值时S最大，以及最大值．
点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形ADE中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理的运用，利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质，确定x，y的取值和面积的最大值是解题的关键．