题目内容
【题目】一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
（1）类比研究
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对四边形进行研究，完成表．
四边形 | 对称性 | 边 | 角 | 对角线 |
平行 | ． | 两组对边分别平行，两组对边分别相等． | 两组对角 | 对角线互相平分． |
等腰 | 轴对称图形，过平行的一组对边中点的直线是它的对称轴． | 一组对边平行，另一组对边相等． | ． | ． |
（2）演绎论证
证明等腰梯形有关角和对角线的性质．
已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD是对角线．
求证：
证明：
揭示关系
我们可以用图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系．
（3）请用类似的方法揭示四边形、对角线相等的四边形、平行四边形、矩形以及等腰梯形之间的关系．
【答案】
（1）中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；同一底上的两个角相等；对角线相等．
（2）
求证：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD
证明： ∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
故答案分别为中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；同一底上的两个角相等；对角线相等；∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
方法一：
证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E．
∴∠ABE=∠DEC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=DC，
∴DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC=BD．
方法二：
证明：分别过点A、D作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F．
∴∠AEF=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE=DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC=BD．
（3）
解：如图所示．
【解析】（1）根据平行四边形、等腰梯形的性质即可解决问题．
（2.）结论：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
方法一：过点D作DE∥AB，交BC于点E． 首先证明四边形ABED是平行四边形，推出AB=DE，又AB=DC，推出DE=DC，推出∠DCE=∠DEC，推出∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再证明△ABC≌△DCB即可解决问题．
方法二：分别过点A、D作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F． 由Rt△ABE≌Rt△DCF，推出∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再证明△ABC≌△DCB，即可．
（3.）模仿三角形和一些特殊三角形之间的关系，画出图形即可．
【考点精析】掌握推理与论证是解答本题的根本，需要知道一个正确的论证必须满足两个条件：1、论据（前提）是真实的；2、论证方式（推理形式）是正确的（有效的）．
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