题目内容
【题目】“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，则△ACD与△CBD相似吗？”于是，学生甲发现CD2=AD·BD也成立．
问题1：请你证明CD2=AD·BD；
学生乙从CD2=AD·BD中得出：可以画出两条已知线段的比例中项．
问题2：已知两条线段AB、BC在x轴上，如图2：请你用直尺（无刻度）和圆规作出这两条线段的比例中项．要求保留作图痕迹，不要写作法，最后指出所要作的线段．
学生丙也从CD2=AD·BD中悟出了矩形与正方形的等积作法．
问题3：如图3，已知矩形ABCD，请你用直尺（无刻度）和圆规作出一个正方形BMNP，使得S正方形BMNP=S矩形ABCD．要求：保留作图痕迹；简要写出作图每个步骤的要点．
【答案】（1）证明见解析;（2）作图见解析,CD为所要画的线段;（3）过程见解析.
【解析】试题分析：问题1：只要证明△ACD∽△CBD，可得
，即可证明；
问题2：如图2中，作AC的中点K，以K为圆心KA为半径作⊙K交y轴正半轴于D．线段BD为所要画的线段；
问题3：①延长AB至E，使得BE=BC；②以AE为直径，画半圆O，与BC的延长线相交于M③以BM为边做正方形BMNP．正方形BMNP即为所求；
试题解析：问题1:证明：如图1中，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴
，
∴CD2=ADBD.
问题2:如图2中，作AC的中点K，以K为圆心KA为半径作⊙K交y轴正半轴于D.
线段BD为所要画的线段。
问题3:①延长AB至E，使得BE=BC；
②以AE为直径，画半圆O，与BC的延长线相交于M
③以BM为边做正方形BMNP.
正方形BMNP即为所求。
