题目内容

对于每个非零自然数n，抛物线y=x²- $数学公式$ 与x轴交于A_n，B_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉的值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：本题就是将非零自然数n分别代入抛物线得出与x轴交点的各个值，分别算出两交点间的距离再求出它们的和．
解答：将n=1，2，3，4…分别代入抛物线得y=x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，y=x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，y=x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，…；
分别解得x₁=1，x₂= $\text{[math]}$ ，x₃= $\text{[math]}$ ，x₄= $\text{[math]}$ ，x₅= $\text{[math]}$ ，x₆= $\text{[math]}$ ，…；
∴A₁B₁=1- $\text{[math]}$ ，A₂B₂= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，A₃B₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，…，A₂₀₀₉B₂₀₀₉= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：此题是一道开放题，需要先代入几个特殊值，找出规律，然后解答．

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