Question

如图,在□ABCD中,过A、B、D三点的⊙O交BC于点E,连接DE,∠CDE=∠DAE．
（1）判断四边形ABED的形状，并说明理由；
（2）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=3，AE=6，求CE的长．

Answer 1

（1）等腰梯形，理由见解析；（2）相切，理由见解析；（3）.

试题分析：（1）四边形ABED为等腰梯形，理由为：利用四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由平行四边形的对角相等，利用等量代换得到∠DEC=∠C，利用等角对等边得到DE=DC，而DC=AB，故DE=AB，再由BE与AD平行，DE与AB不平行即可得证；
（2）DC与圆O相切，理由：连接DO并延长与圆交于F点，利用圆周角定理及等量代换得到OD与DC垂直，即可得证；
（3）由等腰梯形对角线相等得到AE=BD，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，以及公共角相等得到三角形CDE与三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CE的长．
试题解析：（1）四边形ABED是等腰梯形．
理由如下：在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．
∴，DE=AB．
∵AB∥CD，∴AB与DE不平行．
∴四边形ABDE是等腰梯形．
（2）直线DC与⊙O相切．
如图，作直径DF，连接AF．于是，∠EAF=∠EDF．

∵∠DAE=∠CDE，
∴∠EAF＋∠DAE=∠EDF＋∠CDE，即∠DAF=∠CDF．
∵DF是⊙O的直径，点A在⊙O上，
∴∠DAF=90°，∴∠CDF=90°．∴OD⊥CD．
直线DC经过⊙O半径OD外端D，且与半径垂直，
直线DC与⊙O相切．
（3）由（1），∠EDA=∠DAB．
在□ABCD中，∠DAB=∠DCB，
∴∠EDA=∠DCB．又∵∠DAE=∠CDE，
∴△ADE∽△DCE．
∴，
∵AB=3，由（1）得，AB=DE=DC=3．
即．
解得，CE=．