Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD、OD，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴AD垂直平分BC，即DC=DB，

∴OD为△BAC的中位线，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，

∴四边形OAED为矩形，

而OD=OA，

∴四边形OAED为正方形，

∴AE=AO，

∴tan∠ABE= = ；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴∠ABF+∠FAB=90°，

而∠EAP+∠FAB=90°，

∴∠EAP=∠ABF，

∴tan∠EAP=tan∠ABE= ，

在Rt△EAP中，AE=2，

∵tan∠EAP= = ，

∴EP=1，

∴AP= = ．

【解析】（1）连接AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形的直线得DC=DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，这样根据切线的判定定理即可得到结论；（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值；（3）由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°，再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，则tan∠EAP=tan∠ABE= ，在Rt△EAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股定理可计算出AP．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆周角定理和切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．