Question

如图1，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，且满足
AF＝DE，连接BF、AE，交点为O，
小题1:请判断AE与BF的关系，并证明你的结论．
小题2:如图2，连接BE、EF，若G、H、P、Q分别是AB、BE、EF、FA的中点，试说明四边形GHPQ是正方形．

Answer 1

小题1:AE=BF，AE⊥BF
小题2:见解析

（1）根据条件证明△ABF≌△DAE，利用全等的性质证明AE=BF，AE⊥BF；
（2）由（1）的结论可知，四边形ABEF的对角线互相垂直且相等，根据三角形中位线的性质可证明四边形GHPQ是正方形。
解答：（1）AE=BF，AE⊥BF。
证明：在△ABF和△DAE中，
∵AB=AD、∠BAF=∠ADE=90°、AF=DE，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴BF=AE，∠BFA=∠AED，
又∠EAD+∠AED=90°，
∴∠BFA+∠AED=90°，
∴AE⊥BF。
（2）理由：由（1）可知四边形ABEF的对角线互相垂直且相等，
∵GQ为△ABF的中位线，
∴GQ=1/2BF，GQ∥BF，
同理可证PH=1/2BF，PH∥BF，
即PH=GQ，PH∥GQ，四边形PQGH为平行四边形，
易证PQ=1/2AE=1/2BF=PH，∴?PQGH菱形，
∵AE⊥BF，
∴PQ⊥PH，菱形PQGH为正方形。