Question

已知：关于x的方程2x²-（3m+n）x+mn=0，且m＞n＞0．
求证：（1）这个方程有两个不相等的实数根；
（2）这个方程的两根中，有一个比n大，另一个比n小．

Answer 1

解：（1）∵△=（3m+n）²-8mn=9m²-2mn+n²=（3m-n）²+4mn＞0，
∴这个方程有两个不相等的实数根．

（2）设这个方程两个实数根为α、β，α+β=，αβ=，
∵（α-n）（β-n）=αβ-n（α+β）+n²=，
又∵m＞n＞0∴n-2m＜0
∴（α-n）（β-n）＜0，
∴α-n与β-n必为一正一负．
∴这个方程的两根中，有一个比n大，另一个比n小．
分析：（1）证明其△=（3m+n）²-8mn=9m²-2mn+n²=（3m-n）²+4mn＞0进而可以得到方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系得到α+β=，αβ=，然后计算∵（α-n）（β-n）＜0，即可得到这个方程的两根中，有一个比n大，另一个比n小．
点评：本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系得到两根之和和两根之积．