题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201206/53/0bc5aa49.png)
5 |
①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③点B到直线AE的距离为
2 |
1+
| ||
2 |
其中正确结论的序号是( )
分析:①利用同角的余角相等,易得∠EAB=∠PAD,再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等;
②利用①中的全等,可得∠APD=∠AEB,结合三角形的外角的性质,易得∠BEP=90°,即可证;
③过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,利用③中的∠BEP=90°,利用勾股定理可求BE,结合△AEP是等腰直角三角形,可证△BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF;
④连接BD,求出△ABD的面积,然后减去△BDP的面积即可;
②利用①中的全等,可得∠APD=∠AEB,结合三角形的外角的性质,易得∠BEP=90°,即可证;
③过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,利用③中的∠BEP=90°,利用勾股定理可求BE,结合△AEP是等腰直角三角形,可证△BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF;
④连接BD,求出△ABD的面积,然后减去△BDP的面积即可;
解答:解:①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/34/605e6009.png)
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∵在△APD和△AEB中,
,
∴△APD≌△AEB(SAS);
故此选项成立;
②∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED;
故此选项成立;
③过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵BE=
=
=
,
∴BF=EF=
,
∴点B到直线AE的距离为
.
故此选项不正确;
④如图,连接BD,在Rt△AEP中,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201202/62/f34c74ed.png)
∵AE=AP=1,
∴EP=
,
又∵PB=
,
∴BE=
,
∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
,
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=
S正方形ABCD-
×DP×BE=
×(4+
)-
×
×
=
+
.
故此选项不正确.
∴正确的有①②④,
故选B.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/34/605e6009.png)
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∵在△APD和△AEB中,
|
∴△APD≌△AEB(SAS);
故此选项成立;
②∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED;
故此选项成立;
③过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵BE=
BP2-PE2 |
5-2 |
3 |
∴BF=EF=
| ||
2 |
∴点B到直线AE的距离为
| ||
2 |
故此选项不正确;
④如图,连接BD,在Rt△AEP中,
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201202/62/f34c74ed.png)
∵AE=AP=1,
∴EP=
2 |
又∵PB=
5 |
∴BE=
3 |
∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
3 |
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=
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2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
6 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
| ||
2 |
故此选项不正确.
∴正确的有①②④,
故选B.
点评:本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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