Question

如图，直线（b＞0）与双曲线(＞0)交于A、B两点，连接OA、OB， AM⊥轴于M，BN⊥X轴于N；有以下结论：①OA =OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S_△AOB=k；④AB=时，ON=BN=1，其中结论正确的是（    ）

A. ①②③④           B. ①②③           C. ①②          D. ①②④

Answer 1

A

试题分析：①②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立与，得x²-bx+k=0，则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比较可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可证结论；
③作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S_△AOB=k；
④延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1.
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
联立与，得x²-bx+k=0，
则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂， 
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，

∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正确；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=k+k=k，正确；
④延长MA，NB交于G点
 
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确．
正确的结论有①②③④．
故选A．
点评：解题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数图象的对称性．