Question

如图，已知：△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的切线，CO的延长线交AD于点D．
（1）若∠B=2∠D，求∠D的度数；
（2）在（1）的条件下，若AC=4

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，利用弦切角定理和三角形内角和定理即可得出∠D的度数；
（2）根据切线与半径之间的位置关系，利用正切在直角三角形各边的数量关系，即可得出⊙O的半径．

解答：解：（1）如图，连接OA，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
设∠D=α，则∠DOA=90°-α，∠B=2α，∠AOC=4α，
∴90°-α+4α=180°，
∴α=30°，
∴∠D=30°；

（2）∵OA=OC，∠AOC=4α=120°，
∴∠ACO=30°=∠D，
∴AD=AC=4

3

，
在Rt△ADO中，AO=AD×tan∠D=4

3

×

3

3

=4．
∴⊙O的半径是4．

点评：本题主要考查了切线的性质和应用，要求学生能够熟练地应用切线的各个性质和定理．