Question

【题目】定义：如图，若点D在的边AB上，且满足，则称满足这样条件的点为的“理想点”

如图，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；

如图，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长；

如图，已知平面直角坐标系中，点，，C为x轴正半轴上一点，且满足，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点”若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】 见解析;(2);(3)存在，理由见解析.

【解析】

结论：点D是的“理想点”只要证明∽即可解决问题；

只要证明即可解决问题；

如图中，存在有三种情形：过点A作交CB的延长线于M，作轴于构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；

解：结论：点D是的“理想点”．
理由：如图中，

是AB中点，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
点D是的“理想点”，
如图中，

点D是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，
当时，同法证明：，
在中，，，，
，
，
．
如图中，存在有三种情形：

过点A作交CB的延长线于M，作轴于H．
，，
，
，
，，
，
≌，
，，设，
，，
，，，，
，
，
，
解得或舍弃，
经检验是分式方程的解，
，，
当时，点A是的“理想点”设，
，，
∽，
，
，
解得，
．
当时，点A是的“理想点”．
易知：，
，
．
当时，点B是的“理想点”．
易知：，
，
．
综上所述，满足条件的点D坐标为或或．