Question

【题目】如图所示，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．

（1）若厘米，秒，求PM的长度；

（2）若厘米，求出某个时间，使⊿PNB∽⊿PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）（2），使，相似比为

（3），

【解析】

（1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的对应边成比例就可以求出PM；
（2）若PNB∽△PAD，则，而，∴，则可求出t，也可以求出相似比；
（3）首先用△AMP∽△ABN把QM，PM用t表示，再用t表示梯形PMBN与梯形PQDA的面积，根据已知可以得到关于t的方程，再由t与a的关系式可以求t的取值范围了；
（4）由（3）根据梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等得到关于t的方程，求出t，再求出a，则问题可解．

解：（1）当t=1时，MB=1，NB=1，AM=4-1=3，
∵PM∥BN
∴△ANB∽△APM，
∴，

∴PM＝

（2）当t=2时，使△PNB∽△PAD，
∴，

∵，
∴

∴

解得t=2，则相似比为2：3．

（3），

⊿APM∽⊿ABN ，

，

即：

∴

当梯形与梯形的面积相等，即

化简得，

，

，

则，